三、（本题满分 8 分）

   设 都具有连续的一、二阶偏导数， , 试求

四、（本题满分 10 分）

   试证：对于在（ 1 ， 2 ）内任一点 x 处均有

        

五、（本题满分 12 分）

   设 f(x,y) 在单位圆上有连续的偏导数，且在边界上取值为零，证明

       

其中 D 为圆环域：

六、（本题满分 12 分）

   设 u(x,y),v(x,y) 在全平面内有连续的偏导数，且满足 ，记 C 为包围原点的正向简单闭曲线，计算

       

七、（本题满分 12 分）

   设 f(u) 连续， ，而 ，求

及

八、（本题满分 12 分）

   设稳定流动的不可压缩流体（假设密度为 1 ）的速度场由

+ 给出，锥面 是速度场中一片有向曲面，求在单位时间内流向曲面 外侧的流体的质量 .

九、（本题满分 9 分）

   设 为四维列向量， A= , 已知 的通解为

. 其中 为对应齐次方程组的基础解系 , 为任意常数 . 令 B= , 试求 B 的通解 .

十、（本题满分 9 分）

设 A,B 为 n 阶矩阵 , 秩 r(A)+r(B)<n.

(1)     证明 为 A,B 相同的特征值 ;

(2)     Ax=0 与 Bx=0 的基础解系组成的向量组线性相关 ;

(3)     A,B 具有公共的特征向量 .

十一 （本题满分 9 分）

在线段 [0 ， 1] 上任取 n 个点，试求其中最远两点的距离的数学期望 .

十二 （本题满分 9 分）

    设有 n 台仪器 . 已知用第 台仪器测量时，测定值总体的标准差为 . 用这些仪器独立地对某一物理量 各观察一次，分别得到 . 设仪器都没有系统误差，即 ，问 应取何值，方能在使用 估计 时， 无偏，并且 最小？

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