中国科学技术大学1998年线形代数试题
　　注: < >表示下标, 上下连续的(或{表示同一个大(或{.
　　1.(10分)
　　求以A(1,2,2),B(2,4,1),C(1,-3,5),D(4,-2,3)为顶点的四面体的体积.
　　2.(16分)
　　计算矩阵: (1 1 1 1) ^(-19)
　　(1)( cos(pi/7) sin(pi/7) ) ^1997 (2)(0 1 1 1)
　　(-sin(pi/7) cos(pi/7) ) , (0 0 1 1)
　　(0 0 0 1)
　　3.(14分)
　　t取哪些值时,下面的方程组有非零解.
　　┌x1+x2+x3+...+xn=0
　　│x1+(1-t)x2+x3+...+xn=0
　　-│x1+x2+(2-t)x3+...+xn=0
　　│......
　　└x1+x2+x3+...+(n-1-t)xn=0
　　4.(14分)
　　设V是实数域上全体2x2矩阵组成的线性空间(维数为4),V上的线性变换T将每个矩阵X映到
　　它的转置X',求V的一组基,使T在这组基下的矩阵为对角阵.
　　5.(15分)
　　求证:曲面3*x^2+2*y^2+2*z^2-2xy+2xz-8=0是椭球面.并求出这个椭球面所围成的体积.
　　(允许引用椭球面x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1(a,b,c>0)所围成的体积的公式
　　V=4/3*pi*abc)
　　6.(15分)
　　证明:复方阵A的最小多项式与特征多项式相等的充分必要条件是:A的特征子空间都是一
　　维的.
　　7.(16分)
　　设A,B是n阶复方阵,且AB=BA.证明:
　　(1)A,B有公共的特征向量 -1 -1
　　(2)如果A,B都相似于对角阵,则存在同一个可逆复方阵T,使T A T与T B T同时为对角阵

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