中国科学技术大学1999年线形代数试题
　　注: < >表示下标, 上下连续的(或{表示同一个大(或{.
　　1.(10分)
　　设平面pi:Ax+By+Cz+D=0与连接两点M1(x1,y1,z1)和M2(x2,y2,z2)的线段相交于点M,
　　→ →
　　且M1M=kMM2.证明:k=-(Ax1+By1+Cz1+D)/(Ax2+By2+Cz2+D)
　　2.(10分)
　　(1)计算(1/2 -sqrt(3)/2) ^1998
　　(sqrt(3)/2 1/2 )
　　(2)在平面直角坐标系中,(x) (1/2 -sqrt(3)/2)(x) 表示平面上的点怎样的
　　(y) → (qrt(3)/2 1/2 )(y)
　　变换?
　　3.(16分)
　　n>=2,n阶方阵A=(a)的主对角元a=0(i=1,2,...,n),其余元素a=1.求
　　detA及A^(-1)
　　4.(14分)
　　求证:与任意n阶方阵可交换的方阵一定是纯量阵.
　　5.(24分)
　　设F[x]是数域F上次数[x]上线性变换D将每个
　　多项式f(x)映到其导数f'(x).
　　(1)求D的特征多项式和最小多项式.
　　(2)找出F[x]的一组基,使D在这组基下的矩阵是若当标准形.
　　n-1
　　(3)设I是F[x]上的单位变换,A=I+∑ D^k/k!.求证:A是F[x]上的可逆变换,并求出
　　k=1
　　A的逆.
　　6.(12分)
　　设A是复数域上n维线性空间V上的线性变换,具有n个不同的特征值t<1>,...,t,而
　　α<1>,...,α分别是属于这些特征值的特征向量.求证:α<1>+...+α生成的
　　循环子空间等于V.
　　7.(14分) m*n
　　设 V=R 是实数域上全体m*n实矩阵组成的向量空间,S是正定的n阶实对称方阵.对任意
　　X,Y属于V,定义(X,Y)=Tr(XSY').证明:(X,Y)是V上的欧几里德内积

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