08
数三考试大纲整体变化：
1
、 在高数部分一元函数微分学中，考试要求当中增加了“了解泰勒定理”与对函数图形的凹凸性增加了“(注：在区间
内，设函数
具有二阶导数，当
时，
的图形时凹的；当
时，
的图形时凸的)”。
2
、在概率论部分随机变量及其分布中，在考试要求当中增加了二项分布函数符号
，和泊松分布函数符号
，均匀分布函数符号
和指数分布的函数分布符号
。
3、在多维随机变量及其概率分布中，在考试要求当中增加了二维正态分布的函数符号，即“
”
4、在数理统计的基本概念中，在考试要求当中，由原来“理解
分布的
分位数”改为“理解
分布的上侧
分位数”。
从考试内容上看，2008年考研数学三考试大纲主要对一些细节方面进行了调整，增加的考点均是高校本科教学中的薄弱环节，要求考生在复习过程中要有针对性地进行加以强化提高。
在考试的内容结构上，2008年考研数学三大纲没有什么太大的变化。而从题型比例看，2008年考研大纲，选择题减少了两道，增加了一道解答题。因此原来的客观题(包括填空题和选择题)和解答题的分值比例是45%和55%，现在变成37%和63%。而试卷的总体难度与2007年试卷比较会有所降低。
解析
：在高数部分一元函数微分学中，考试要求当中“会用导数判断函数图形的凹凸性”增加了“(注：在区间
内，设函数
具有二阶导数，当
时，
的图形时凹的；当
时，
的图形时凸的)”。
用导数判断函数图形的凸凹性，其判别方法有两种：
凸凹性第一判别法：设
在
上连续，在
内可导。若
在
是单调减函数，则
的图形在
上是凸的；若
在
是单调增函数，则
的图形在
上是凹的。
凸凹性第二判别法：在区间
内，设函数
具有二阶导数，当
时，
的图形时凹的；当
时，
的图形时凸的。
在2008年新大纲中增加了对凸凹性第二判别法的表述，这样会使考试难度降低了，因为主要掌握这一判别法即可判断函数的凸凹性。
例1
：
设函数
由方程
确定，试判断曲线
在点
附近的凸凹性。
解：所求隐函数
满足方程
与条件
，由方程知
具有二阶连续导数，从而要判断
在点
附近的凸凹性，只需求出
。
将方程看成关于
的恒等式，两端对
求导数得
整理得
（1）
在（1）式中令
可得
。将（1）式两端再对
求导数，得
。
在上式中令
，
即得
。由
的连续性知存在
的一个邻域，在此邻域中
，即曲线
在点
附近是凸弧。
例2
：设
,下列命题中正确的是
（A）
f(0)
是极大值，
是极小值.
（B）f(0)是极小值，
是极大值.
（C）f(0)是极大值，
也是极大值.
(D) f(0)
是极小值
也是极小值.
解
：先求出
，再用取极值的充分条件判断即可.
，显然
，
又
，且
，故f(0)是极小值，
是极大值，应选(B)。
例3、设f(x) = |x(1
-
x)|
，则
(A) x = 0
是f(x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线y= f (x)的拐点.
(B) x = 0
不是f(x)的极值点，但(0 , 0)是曲线y= f (x)的拐点.
(C) x = 0
是f(x)的极值点，且(0 , 0)是曲线y= f (x)的拐点.
(D) x = 0
不是f(x)的极值点，(0 , 0)也不是曲线y= f (x)的拐点.
分析：
由于f(x)在x= 0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，
考查f(x)在x= 0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.
解
：设0 <
d
< 1
，当x
?
(
-
d
, 0)
?
(0 ,
d
)
时，f(x) > 0，而f(0) = 0，所以x= 0是f(x)的极小值点.
显然，x= 0是f(x)的不可导点. 当x
?
(
-
d
, 0)
时，f(x) =
-
x
(1
-
x)
，
，
当x
?
(0 ,
d
)
时，f(x) = x(1
-
x)
，
，所以(0 , 0)是曲线
y
= f (x)
的拐点.
故选(C)。
例4、函数
的极大值与凸区间分别是
（A）3，
（B）3，
（C）
（D）
解：因函数的定义域
，且
又
由
，得
，
函数的极大值点
，凸区间是
，因此选（C）
建议
：
选择合适的方法记忆凸凹性的官方说明，凸凹性通常与单调性、极值、拐点、渐近线等联系在一起，这些都属于导数的应用问题。在考试当中，这部分考点通常以选择题或解答题的形式出现。这部分内容也是考试的重点，所以应认真复习，多加强这部分习题的练习，在熟练掌握基本原理的同时，重要是应用。达到融会贯通，举一反三。
